与点P(1,2),过P点作直线l与双曲线交于A、B两点,若P为AB的中点.(1)求直线AB的方程;
(2)若Q(1,1),证明不存在以Q为中点的弦.
与点P(1,2),过P点作直线l与双曲线交于A、B两点,若P为AB的中点.(1)求直线AB的方程;
(2)若Q(1,1),证明不存在以Q为中点的弦.
(1)解
:设过P（1,2）点的直线AB的方程为y-2=k(x-1),代入双曲线方程并整理,得
(2-k2)x2+(2k2-4k)x-(k2-4k+6)=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-.
由已知
,
∴
,解得k=1.
又k=1时,Δ=(2k2-4k)2+4(2-k2)(k2-4k+6)=16＞0,
∴直线AB的方程为x-y+1=0.
(2)证明:设过Q(1,1)点的直线方程为
y-1=k(x-1),
代入双曲线方程并整理,得
(2-k2)x2-2k(1-k)x-(k2-2k+3)=0.
由题知
,解得k=2.
而当k=2时,Δ=［-2k(1-k)］2+4(2-k2)(k2-2k+3)=-62＜0,
∴这样的直线不存在.