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已知a、b、c均为实数,证明ac＜0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一正根和一负

已知a、b、c均为实数,证明ac＜0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件.

答案

思路分析：

由一元二次方程判别式及根与系数的关系式可得.

证明

:(1)充分性:若ac＜0,

则Δ=b2-4ac＞0.

∴方程ax2+bx+c=0有两个相异的实根.设为x1、x2.

∵ac＜0,

∴x1·x2=,

即x1、x2的符号相反,方程有一个正根和一个负根.

(2)必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,则设为x1、x2.不妨再设x1＜0,x2＞0,则x1x2=,∴ac＜0.

由(1)(2)知ac＜0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.

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