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三棱锥ABCD中,P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,截面PQMN把棱锥ABCD

三棱锥ABCD中,P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,截面PQMN把棱锥ABCD分成两部分的体积之比为____________.

答案

思路解析：可以分别求出截面分成的两个几何体的体积,可以先求出三棱锥ABCD的体积和其中一个几何体的体积,相减即可得另一几何体的体积.

设△BCD的面积为4S,A到平面BCD的距离为2h.

则三棱锥ABCD的体积为V=·4S·2h=Sh.

取AC中点E,连结PE、NE得一个三棱柱CMQ—ENP和一个三棱锥A—ENP,它们的底面积都是S,高为h,而多面体PQMN—AC的体积V1等于它们的体积之和.

所以V1=VCMQ—ENP+VA—ENP=Sh+Sh=Sh=V.

又多面体PQMN—BD的体积V2=V-V1=V,所以两部分体积之比为1∶1.

答案：1∶1

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