（本题满分18分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分8分．
已知椭圆
的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为
、
，抛物线
的准线与
轴交于，椭圆与抛物线
的一个交点为
.
（1）当
时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线
过焦点，与抛物线交于
两点，若弦长
等于
的周长，求直线的方程；
（3）是否存在实数
，使得的边长为连续的自然数.
（本题满分18分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分8分．
已知椭圆的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为、，抛物线的准线与轴交于，椭圆与抛物线的一个交点为.
（1）当时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线过焦点，与抛物线交于两点，若弦长等于的周长，求直线的方程；
（3）是否存在实数，使得的边长为连续的自然数.
解：（1）设椭圆的实半轴长为a,短半轴长为b，半焦距为c,
当
=1时，由题意得，a=2c=2,
,
所以椭圆的方程为
.（4分）
（2）依题意知直线
的斜率存在，设
，由
得，
，由直线与抛物线
有两个交点，可知
.设
，由韦达定理得
，则
（6分）又
的周长为
，所以
， （8分）
解得
，从而可得直线的方程为
（10分）
（3）假设存在满足条件的实数，
由题意得
，所以椭圆
的方程为
联立
解得
即
。
所以
，
，
，
即的边长分别为
、
、
，显然
，
所以
，故当
时，使得的边长为连续的自然数. （18分）