已知函数
.
(1)求证: 
在(1,+∞)上单调递增.
(2)若≥
-
在x∈(0,1]内恒成立,求实数t的取值范围.
已知函数.
(1)求证: 在(1,+∞)上单调递增.
(2)若≥-在x∈(0,1]内恒成立,求实数t的取值范围.
(1)函数的定义域为(0,+∞),f ′(x)=2x-
=
,
由f ′(x)>0,得x>1,由f ′(x)<0,得0
<x<1,
所以,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
(2)由f(x)≥2tx-
对x∈(0,1]恒成立,得2
t≤x+
-
.
令h(x)=x+-,则h′(x)=
,
因为x∈(0,1],所以x4-3<0,-2x2<0,
2x2lnx<0,x4>0,
所以h′(x)<0,
所以h(x)在(0,1)上为减函数.
所以当x=1时,h(x)=x+-
有最小值2,得2t≤2,
所以t≤1,故t的取值范围是(-∞,1].