如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=
（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为 ．
如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为 ．
y=2x ．
【考点】相似三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】数形结合．
【分析】设OC=a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．
【解答】解：设OC=a，
∵点D在y=
上，
∴CD=
，
∵△OCD∽△ACO，
∴
=
，
∴AC=
=
，
∴点A（a，），
∵点B是OA的中点，
∴点B的坐标为（
，
），
∵点B在反比例函数图象上，
∴
=，
∴
=2k2，
∴a4=4k2，
解得，a2=2k，
∴点B的坐标为（
，a），
设直线OA的解析式为y=mx，
则m•=a，
解得m=2，
所以，直线OA的解析式为y=2x．
故答案为：y=2x．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用OC的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．