设a∈R,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小值.
设
a∈R,函数
f(
x)=
x2+|
x-
a|+1,
x∈R,求
f(
x)的最小值.
解:(1)当x≥a时,f(x)=x2+x-a+1
=(x+
)
2-
a+
.
若a≤-
时,则
f(
x)在［
a,+∞)上的最小值为
f(-
)=
-
a;
若a＞
时,则
f(
x)在［
a,+∞)上单调递增,
f(x)min=f(a)=a2+1.
(2)当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1
=(x-
)
2+
a+
;
若a≤
时,则
f(
x)在(-∞,
a］上单调递减,
f(x)min=f(a)=a2+1;
当a＞
时,则
f(
x)在(-∞,
a］上的最小值为
f(
)=
+
a.
综上所述,当a≤-
时,
f(
x)的最小值为
-
a;
当-
<
a≤
时,
f(
x)的最小值为
a2+1;
当a＞-
时,
f(
x)的最小值为
+
a.
