已知函数
.
（1）求函数
的单调区间和最小值；
（2）若函数
在
上的最小值为
，求
的值；
（3）若
,且
对任意
恒成立，求
的最大值.
已知函数.
（1）求函数的单调区间和最小值；
（2）若函数在上的最小值为，求的值；
（3）若,且对任意恒成立，求的最大值.
解：（1）
的单调增区间为
，单调减区间为
，
（2）
，
，
Ⅰ．当
时，
，
在
上单调递增，
，所以
，舍去.
Ⅱ．当
时，在
上单调递减，
在
上单调递增，
①若
，在上单调递增，，所以，舍去，
②若
，在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，解得
.
③若
，在上单调递减，
，所以
，舍去，
综上所述，
.
（3）法一：由题意得：
对任意恒
成立，即
对任意恒成立.
令
，则
，令
，则
，
所以函数
在
上单调递增，
因为方程
在上存在唯一的实根
，且
，当
时，
，即
，
当
时，
，即
.
所以函数
在
上递减，在
上单调递增.
所以
所以
，又因为，故整数的最大值为3.
法二：直接构造函数
令
① 当
时，
在
上恒成立，
在上恒成立，
；
② 当
时，令
当
变化时，
、变化情况如下表：
| x |
|
|
|
|
| - | 0 | + |
|
| 减函数 | 极小值 | 增函数 |
即
即
同法一 
的最大值是3
