已知椭圆C：
＋
＝1(a＞b＞0)的离心率为
，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l：y＝kx＋
与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l：y＝kx＋与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
(1)解： 设椭圆的焦半距为c，则由题设，得
……………(2分)
解得
所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，
故所求椭圆C的方程为
＋x2＝1.……………(3分)
(2)存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.
理由如下：
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线l 的方程y＝kx＋代入＋x2＝1，
并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－1＝0.(*)……………(5分)
则x1＋x2＝－
，x1x2＝－
.……………(6分)
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，
所以
·
＝0，即x1x2＋y1y2＝0.……………(8分)
又y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋3，……………(9分)
于是－
－
＋3＝0，解得k＝±
，……………(11分)
经检验知：此时(*)式的Δ＞0，符合题意．
所以当k＝±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.……………(12分)