如图所示,定椭圆=1(a>b>0)上的动点P不重合于短轴两端点B1与B2,设

如图所示,定椭圆=1(a>b>0)上的动点P不重合于短轴两端点B₁与B₂,设两直线B₁P、B₂P与x轴分别相交于点M、N.问|OM|·|ON|是否为定值?

答案

解析

:取P(a,0),则M(a,0)、N(a,0),从而|OM|·|ON|=a²;

取P(c,),则M(,0),N(,0).

故|OM|·|ON|=a².

于是猜想|OM|·|ON|=a²为定值.

证明:设P(acosθ,bsinθ),其中|sinθ|≠1,

且设M(x₁,0),N(x₂,0).

∵三点B、M、P共线,且三点B₂、N、P共线,

∴,,

即x₁=,x₂=.

则|OM|·|ON|=|x₁|·|x₂|=|x₁·x₂|

=||=||＝a²(定值).

故|OM|·|ON|为定值.

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