=1(a>b>0)上的动点P不重合于短轴两端点B1与B2,设两直线B1P、B2P与x轴分别相交于点M、N.问|OM|·|ON|是否为定值?
=1(a>b>0)上的动点P不重合于短轴两端点B1与B2,设两直线B1P、B2P与x轴分别相交于点M、N.问|OM|·|ON|是否为定值?
解析
:取P(a,0),则M(a,0)、N(a,0),从而|OM|·|ON|=a2; 取P(c,
),则M(,0),N(
,0).
故|OM|·|ON|=a2.
于是猜想|OM|·|ON|=a2为定值.
证明:设P(acosθ,bsinθ),其中|sinθ|≠1,
且设M(x1,0),N(x2,0).
∵三点B、M、P共线,且三点B2、N、P共线,
∴
,
,
即x1=
,x2=
.
则|OM|·|ON|=|x1|·|x2|=|x1·x2|
=|
|=|
|＝a2(定值).
故|OM|·|ON|为定值.