某人射击5次,每次中靶的概率均为0.9,求他至少两次中靶的概率.

某人射击5次,每次中靶的概率均为0.9,求他至少两次中靶的概率.

答案

思路分析:

至少有两次中靶包括恰好有2次中靶,恰好有3次中靶,恰好有4次中靶和恰好有5次中靶四种情况.而这些事件是彼此互斥的,而他每次射击中靶的概率均相等,并且相互之间没有影响,所以每次射击又是相互独立事件,因而他射击5次是进行5次独立重复试验.

解:解法一:在5次射击中恰好有2次中靶的概率为×0.92×0.13

在5次射击中恰好有3次中靶的概率为×0.93×0.12

在5次射击中恰好有4次中靶的概率为×0.94×0.1;

在5次射击中5次均中靶的概率为×0.95.

至少有2次中靶的概率为×0.92×0.13×0.93×0.12+×0.94×0.1+×0.95=0.008 1+0.072 9+0.328 05+0.590 49=0.999 54.

解法二:至少有2次中靶的对立事件是至多有1次中靶,它包括恰好有1次中靶与全没有中靶两种情况,显然这是两个互斥事件.

在5次射击中恰好有1次中靶的概率为×0.9×0.14

在5次射击中全没有中靶的概率为0.15.

所以至少有2次中靶的概率为1-×0.9×0.14-0.15=1-0.000 45-0.000 01=0.999 54.

    误区警示

如果我们对独立重复试验的意义理解不深刻,很容易得出其概率为×0.92×0.13=0.008 1的错误结果.究其原因是“至少有2次中靶”这一事件并不是指“有2次中靶,而其余三次不中靶”,因而不能直接运用公式pk(1-p)n-k.该公式仅适用于求某n次独立重复试验中,事件A发生了k次,而其余的n-k次事件A不发生的概率,且P(A)=p.

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