已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）．
（1）写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式．
已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）．
（1）写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式．
【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．
【分析】（1）先根据数列的前n项的和求得S1，S2，S3，S4，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出Sn．
（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，有Sk=
，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．
【解答】解：（1）：∵a1=1，Sn=n2an，∴S1=a1=1，
当n=2时，S2=a1+a2=4a2，解得a2=
，S2=1+=
，
当n=3时，S3=a1+a2+a3=9a3，解得a3=
，S3=1++=
=
，
当n=4时，S4=a1+a2+a3+a4=16a4，解得a4=
，S4=
，
∴Sn=
（2）下面用数学归纳法证
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即Sk=
，
则当n=k+1时，则Sk+1=（k+1）2ak+1=（k+1）2（Sk+1﹣Sk），
∴（k2+2k）Sk+1=（k+1）2Sk=（k+1）2，
∴Sk+1=
故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有Sn=
，
∵Sn=n2an，
∴an=
=
=