已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:x=2,直线l2:y= -t2+8t(其中0≤t≤2,t为常数).若直线l1,l2与函数f(x)的图象以及l2,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.
(1)求a,b,c的值;
(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式.
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:x=2,直线l2:y= -t2+8t(其中0≤t≤2,t为常数).若直线l1,l2与函数f(x)的图象以及l2,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.
(1)求a,b,c的值;
(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式.
解:(1)由题图可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16,
则
解得
(2)由(1)得f(x)=-x2+8x,
由
得x2-8x-t(t-8)=0,所以x1=t,x2=8-t.
因为0≤t≤2,
所以直线l2与f(x)的图象的交点坐标为(t,-t2+8t).
由定积分的几何意义知
S(t)=
[(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+
[(-x2+8x)-(-t2+8t)]dx
=[(-t2+8t)x-(-
+4x2)]
+
[(-+4x2)-(-t2+8t)x]
=-
t3+10t2-16t+
.
所以S(t)=-t3+10t2-16t+(0≤t≤2).