（08年惠州一中四模理） 如图，将圆分成
个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为
。求
（Ⅰ）
；
（Ⅱ）与
的关系式；
（Ⅲ）数列
的通项公式，并证明
。
（08年惠州一中四模理） 如图，将圆分成个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为。求
（Ⅰ）；
（Ⅱ）与的关系式；
（Ⅲ）数列的通项公式，并证明。
解析：（Ⅰ）
时，不同的染色方法种数
，
当
时，不同的染色方法种数
，
当
时，不同的染色方法种数
，
当
时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形
∴不同的染色方法种数
。
（Ⅱ）依次对扇形区域
染色，不同的染色方法种数为
，其中扇形区域1与
不同色的有
种，扇形区域1与同色的有
种
∴
（Ⅲ）∵
∴
………………
将上述
个等式两边分别乘以
，再相加，得
，
∴
，
从而
。
（Ⅲ）证明：当时，
当时，
，
当
时，
，
故