已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).(1)证明数列{an+1

(1)证明数列{a_n+1}是等比数列;

(2)令f(x)=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ,求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1)，并比较2f′(1)与23n²-13n的大小.

解：(1)由已知S_n+1=2S_n+n+5,

∴n≥2时,S_n=2S_n-1+n+4.

    两式相减,得S_n+1-S_n=2(S_n-S_n-1)+1,

    即a_n+1=2a_n+1,

    从而a_n+1+1=2(a_n+1).

    当n=1时,S₂=2S₁+1+5,

∴a₁+a₂=2a₁+6.

    又a₁=5,∴a₂=11.

    从而a₂+1=2(a₁+1).

    故总有a_n+1+1=2(a_n+1),n∈N^*.

    又∵a₁=5,∴a_n+1≠0.

    从而=2，即{a_n+1}是以a₁+1=6为首项,2为公比的等比数列.

(2)由(1)知a_n=3×2ⁿ-1.

∵f(x)=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ,

∴f′(x)=a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1.

    从而f′(1)=a₁+2a₂+…+na_n

=(3×2-1)+2(3×2²-1)+…+n(3×2ⁿ-1)

=3(2+2×2²+…+n×2ⁿ)-(1+2+…+n)

=3［n×2ⁿ⁺¹-(2+…+2ⁿ)］-

=3［n×2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2］-

=3(n-1)·2ⁿ⁺¹-+6.

    由上2f′(1)-(23n²-13n)

=12(n-1)·2ⁿ-12(2n²-n-1)

=12(n-1)·2ⁿ-12(n-1)(2n+1)

=12(n-1)［2ⁿ-(2n+1)］.                        (*)

    当n=1时,(*)式=0,

∴2f′(1)=23n²-13n;

    当n=2时，(*)式=-12＜0，∴2f′(1)＜23n²-13n;

    当n≥3时,n-1＞0.

    又2ⁿ=(1+1)²=++…++≥2n+2＞2n+1,

∴(n-1)［2ⁿ-(2n+1)］＞0,

    即(*)式＞0,

    从而2f′(1)＞23n²-13n.