已知集合A={x|x2-4ax+2a+6=0},B={x|x<0},若A∩B≠,求实数a的取值范围.

已知集合A={x|x2-4ax+2a+6=0},B={x|x<0},若A∩B≠,求实数a的取值范围.

答案

思路解析一:由A∩B≠可知,方程x2-4ax+2a+6=0至少有一个负实根,即有两负根、一负根一零根、一负根一正根三种情况.

解法一:∵A∩B≠,B={x|x<0},

∴方程x2-4ax+2a+6=0至少有一负根.

(1)当方程x2-4ax+2a+6=0有两个负根时,

解得-3<a≤-1.

(2)当方程x2-4ax+2a+6=0有一负根一零根时,

解得a=-3.

(3)当方程x2-4ax+2a+6=0有一负根一正根时,

解得a<-3.

综上所述,所求实数a的取值范围为a≤-1.

思路解析二:如果从反面考虑,先求出方程x2-4ax+2a+6=0有实根时a的取值范围(可看成全集),然后考虑方程x2-4ax+2a+6=0的两根均为非负实数时a的取值范围,则最后可利用补集求解.

解法二:设全集U={a|Δ=(-4a2-4(2a+6)≥0}={a|(a+1)(a-)≥0}={a|a≤-1或a≥}.若方程x2-4ax+2a+6=0的两根x1、x2均为非负数,则解得a≥.在全集U中,集合{a|a≥}的补集为{a|a≤-1}.∴所求实数a的取值范围是a≤-1.

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