已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且过点（1，）．抛物线C2

已知椭圆C₁：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且过点（1，）．抛物线C₂：x²=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣）．

（Ⅰ）求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；

（Ⅱ）若点M是直线l：2x﹣4y+3=0上的动点，过点M作抛物线C₂的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C₁于P，Q两点．

（i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；

（ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：（I）由已知条件，设椭圆方程为，把点代入能求出椭圆C₁的方程．抛物线C₂中，由，能求出抛物线C₂的方程．

（II）（i）设点M（x₀， y₀），且满足2x₀﹣4y₀+3=0，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于切线MA，MB同过点M，有，由此能证明直线AB过定点．

（ii）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），联立方程，得，由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线方程．

解答：  解：（I）由于椭圆C₁中，，

则设其方程为，

由于点在椭圆上，故代入得λ=1．

故椭圆C₁的方程为．

抛物线C₂中，

∵抛物线C₂：x²=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣），

∴，故p=1，

从而椭圆C₁的方程为，抛物线C₂的方程为x²=﹣2y．

（II）（i）证明：设点M（x₀，y₀），且满足2x₀﹣4y₀+3=0，

点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则切线MA的斜率为﹣x₁，

从而MA的方程为y=﹣x₁（x﹣x₁）+y₁，

考虑到，则切线MA的方程为x₁x+y+y₁=0，

同理切线MB的方程为x₂x+y+y₂=0，

由于切线MA，MB同过点M，

从而有，

由此点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在直线x₀x+y+y₀=0上．

又点M在直线2x﹣4y+3=0上，则2x₀﹣4y₀+3=0，

故直线AB的方程为（4y₀﹣3）x+2y+2y₀=0，

即y₀（4x+2）+（2y﹣3x）=0，

∴直线AB过定点．

（ii）解：设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），

考虑到直线AB的方程为x₀x+y+y₀=0，

则联立方程，

消去y并简化得，

从而，，，

从而，

点O到PQ的距离，

从而

=，

当且仅当，即，

又由于2x₀﹣4y₀+3=0，

从而消去x₀得，

即，解得，

从而或，

∴所求的直线为x+2y+2=0或x﹣14y﹣10=0．

点评：本题考查椭圆和抛物线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．