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如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB

如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.

(1)求证：平面A1EF⊥平面B1BCC1；

(2)求直线AA1到平面B1BCC1的距离；

(3)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等?

答案

解：(1)证明：CC1∥BB1，又BB1⊥A1E，∴CC1⊥A1E.而CC1⊥A1F，

∴CC1⊥平面A1EF，∴平面A1EF⊥平面B1BCC1.

(2)作A1H⊥EF于H，则A1H⊥面B1BCC1，∴A1H为A1到面B1BCC1的距离.在△A1EF中，A1E＝A1F＝2，EF＝2，∴△A1EF为等腰直角三角形且EF为斜边，∴A1H为斜边上中线，可得A1H＝EF＝1.

(3)作A1G⊥面ABC于G，连结AG，则A1G就是A1到面ABC的距离，且AG是∠BAC的角平分线，A1G＝1.

∵cos∠A1AG＝.∴sin∠A1AG＝.∴A1A＝

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