已知正项数列{an}满足an2+an=3a2n+1+2an+1，a1=1． （1）求a2的值； （2）证

已知正项数列{a_n}满足a_n²+a_n=3a²_n+1+2a_n+1，a₁=1．

（1）求a₂的值；

（2）证明：对任意实数n∈N^*，a_n≤2a_n+1；

（3）记数列{a_n}的前n项和为S_n，证明：对任意n∈N^*，2﹣≤S_n＜3．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．

【分析】（1）由代入法，解方程可得a₂，注意负值舍去；

（2）由题意可得可得a_n²﹣4a²_n+1+a_n﹣2a_n+1+4a²_n+1=0，因式分解，即可得证；

（3）运用（2）的结论，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．

【解答】解：（1）a_n²+a_n=3a²_n+1+2a_n+1，a₁=1，

即有a₁²+a₁=3a²₂+2a₂=2，

解得a₂=（负的舍去）；

（2）证明：a_n²+a_n=3a²_n+1+2a_n+1，

可得a_n²﹣4a²_n+1+a_n﹣2a_n+1+4a²_n+1=0，

即有（a_n﹣2a_n+1）（a_n+2a_n+1+1）+4a²_n+1=0，

由于正项数列{a_n}，

即有a_n+2a_n+1+1＞0，4a²_n+1＞0，

则有对任意实数n∈N^*，a_n≤2a_n+1；

（3）由（1）可得对任意实数n∈N^*，a_n≤2a_n+1；

即为a₁≤2a₂，可得a₂≥，a₃≥a₂≥，

…，a_n≥，

前n项和为S_n=a₁+a₂+…+a_n≥1+++…+

==2﹣，

又a_n²+a_n=3a²_n+1+2a_n+1＞a²_n+1+a_n+1，

即有（a_n﹣a_n+1）（a_n+a_n+1+1）＞0，

则a_n＞a_n+1，数列{a_n}递减，

即有S_n=a₁+a₂+…+a_n＜1+1+++…+

=1+=3（1﹣）＜3．

则有对任意n∈N^*，2﹣≤S_n＜3．

【点评】本题考查数列的通项和求和间的关系，考查数列不等式的证明，同时考查等比数列的求和公式的运用，以及不等式的性质，属于中档题．