(本题满分15分)已知a∈R，函数f (x) =x3 + ax2 + 2ax (x∈R)．      （Ⅰ

(本题满分15分)已知a∈R，函数f (x) =x³ + ax² + 2ax (x∈R)．      （Ⅰ）当a = 1时，求函数f (x)的单调递增区间；       （Ⅱ）函数 f (x) 能否在R上单调递减，若是，求出 a的取值范围；若不能，请说明理由；   （Ⅲ）若函数f (x)在[-1，1]上单调递增，求a的取值范围．

(Ⅰ) (-1，2)；   (Ⅱ)  -8 ≤ a ≤ 0． （Ⅲ）a ≥ 1

(Ⅰ) 当a = 1时，f (x) = x³ + x² + 2x，    ∴  f ' (x) = -x² + x + 2，

令 f ' (x) > 0， 即-x² + x + 2 > 0，  解得-1 < x < 2，∴ 函数f (x)的单调递增区间是(-1，2)； 

(Ⅱ) 若函数f (x)在R上单调递减，则f ' (x) ≤ 0对x∈R 都成立，                 

即-x² + ax + 2a ≤ 0对x∈R 都成立， 即x² - ax -2a ≥ 0对x∈R 都成立． 

∴  △ = a² + 8a ≤ 0，   解得-8 ≤ a ≤ 0．

∴ 当-8 ≤ a ≤ 0时，函数f (x)能在R上单调递减；

 (Ⅲ) 解法一：∵ 函数f (x)在[-1，1]上单调递增，

∴ f ' (x) ≥ 0对x∈[-1，1]都成立， ∴-x² + ax + 2a ≥ 0对x∈[-1，1]都成立．

∴ a(x + 2) ≥ x²对x∈[-1，1]都成立，    即a ≥ 对x∈[-1，1]都成立．

令g(x) =，则g' (x) = 。

当-1 ≤ x < 0时，g' (x) < 0；当0 ≤ x < 1时，g' (x) > 0．

∴ g(x)在[-1，0]上单调递减,在[0，1]上单调递增．

∵g(-1) = 1，g(1) =，∴g(x)在[-1，1]上的最大值是g(-1) = 1，∴ a ≥ 1．

解法二：∵函数f (x)在[-1，1]上单调递增，

∴ f ' (x) ≥ 0对x∈[-1，1]都成立， ∴-x² + ax + 2a ≥ 0对x∈[-1，1]都成立．

即 x² -ax - 2a ≤ 0对x∈[-1，1]都成立．  12分

 令g(x) = x² -ax -2a，则，

 解得，∴ a ≥ 1．      15分