定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f

定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．

（1）已知二次函数f（x）=ax²+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）=﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由；

（2）若f（x）=2^x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

【考点】二次函数的性质．

【专题】综合题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．

【分析】（1）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；

（2）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（﹣x）=﹣f（x）有解的实数m的取值范围，可得答案．

【解答】解：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）=﹣f（x）有解．

当f（x）=ax²+2x﹣4a（a∈R）时，

方程f（﹣x）=﹣f（x）即2a（x²﹣4）=0，有解x=±2，

所以f（x）为“局部奇函数”．

（2）当f（x）=2^x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2^x+2^﹣x+2m=0，

因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2^x+2^﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解．

令t=2^x，t∈[，2]，则﹣2m=t+

设g（t）=t+，则g'（t）=1﹣=，

当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，

当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．

所以t∈[，2]时，g（t）∈[2，]．

所以﹣m∈[2，]，即m∈[﹣，﹣1]．

【点评】本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．