已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求
的最小值．
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．
解：（1）由题可知
，则该直线方程为：
，…（1分）
代入y2=2px（p＞0）得：
，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1+x2=3p…（3分）
∵|MN|=8，∴x1+x2+p=8，即3p+p=8，解得p=2
∴抛物线的方程为：y2=4x．…（5分）
（2）设l方程为y=x+b，代入y2=4x，得x2+（2b﹣4）x+b2=0，
∵l为抛物线C的切线，∴△=0，
解得b=1，∴l：y=x+1…（7分）
由（1）可知：x1+x2=6，x1x2=1
设P（m，m+1），则
∴
=
∵x1+x2=6，x1x2=1，
，y1y2=﹣4，
，
∴
，
∴
…（10分）
=2[m2﹣4m﹣3]=2[（m﹣2）2﹣7]≥﹣14
当且仅当m=2时，即点P的坐标为（2，3）时，
的最小值为﹣14．…（12分）