如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且()。
(Ⅰ) 求证:;
(Ⅱ) 试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为。
解: (Ⅰ)取中点,连结,依题意可知△,△均为正三角形,
所以,,又,,平面,
所以平面,又平面,所以,
因为,所以。…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,又平面平面,
平面平面,
平面,所以平面.…………6分
以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, …………7分
则,,,,
由可得点的坐标为,
所以,,
设平面的法向量为,则,即
解得,令,得,…………8分
显然平面的一个法向量为,…………9分
依题意,………… 10分
解得或(舍去), ………… 11分
所以,当时,二面角的余弦值为.………… 12分