(1)证明f(0)=0;
(2)证明
其中k和h均为常数;
(3)当(2)中的k＞0时,设g(x)=
+f(x)(x＞0),讨论g(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值.
(1)证明f(0)=0;
(2)证明其中k和h均为常数;
(3)当(2)中的k＞0时,设g(x)=+f(x)(x＞0),讨论g(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值.
证明:(1)令x=0,则f(0)=af(0),∵a＞0,∴f(0)=0.
(2)①令x=a,∵a＞0,∴x＞0,则f(x2)=xf(x).
假设x≥0时,f(x)=kx(k∈R
),则f(x2)=kx2,而xf(x)=x·kx=kx2,∴f(x2)=xf(x),即f(x)=kx成立.
②令x=-a,∵a＞0,∴x＜0,f(-x2)=-xf(x).
假设x＜0时,f(x)=hx(h∈R
),则f(-x2)=-hx2,而-xf(x)=-x·hx=-hx2,
∴f(-x2)=-xf(x),即f(x)=hx成立.
∴f(x)=成立.
(3)当x＞0时,g(x)=+kx,
g′(x)=
,
令g′(x)=0,得x=1或x=-1;
当x∈(0,1)时,g′(x)＜0,∴g(x)是单调递减函数;
当x∈［1,+∞)时,g′(x)＞0,∴g(x)是单调递增函数.
∴当x=1时,函数g(x)在(0,+∞)内取得极小值,极小值为g(1)=
+k.