如图，有一个不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是________ 
如图，有一个不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是________
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【考点】勾股定理，正多边形和圆，计算器—三角函数，解直角三角形
【解析】【解答】解：因为AC为对角线，故当AC最小时，正方形边长此时最小.
①当 A、C都在对边中点时（如下图所示位置时），显然AC取得最小值，[中国教^育@出~&版网%]
∵正六边形的边长为1，
∴AC=
,
∴a2+a2=AC2=
.
∴a=
=
.
②当正方形四个顶点都在正六边形的边上时，a最大（如下图所示）.
设A′（t,
）时，正方形边长最大.
∵OB′⊥OA′.
∴B′（-， t）
设直线MN解析式为：y=kx+b,M（-1，0），N（-
， -）（如下图）
∴
.[来源:#%中^&教*网]
∴
.
∴直线MN的解析式为：y=（x+1）,
将B′（-， t）代入得：t=
-.
此时正方形边长为A′B′
取最大.[来
∴a=
=3-.
故答案为：≤a≤3-.
【分析】分情况讨论.① 当A、C都在对边中点时，a最小.②当正方形四个顶点都在正六边形的边上时，a最大.根据题意求出正方形对角线的长度，再根据勾股定理即可求出a.从而得出a的范围.