如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．
1.求证：△ABD∽△CED．
2.若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．
如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．
1.求证：△ABD∽△CED．
2.若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．
1.证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°．
∵ CE是外角平分线， ∴ ∠ACE＝60°．
∴ ∠BAC＝∠ACE。
又∵ ∠ADB＝∠CDE，
∴ △ABD∽△CED。
2.解：作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6．
∴ AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝
．
∵ AD＝2CD，∴ CD＝2，AD＝4，MD＝1。
在Rt△BDM中，BD＝
＝
．
由（1）△ABD∽△CED得，
，
，
∴ ED＝
，∴ BE＝BD＋ED＝
。
解析:（1）由于△ABC是等边三角形，易知∠A=60°，∠ACF=120°；而CE平分∠ACF，可得∠A=∠DCE=60°，又已知了一组对顶角，两组对应角相等，可判定所求的两个三角形相似；
（2）由于△ABC是等边三角形，则AC=BC=6，由此可求出AC、CD的长；过B作BM⊥AC于M，根据等边三角形的性质知AM=MC，由此可求出MD、MB的长，进而可由勾股定理求出BD的长；根据（1）的相似三角形，可得出关于AD、CD，BD、DE的比例关系式，即可求出DE的长，从而由BE=BD+DE求出BE的长．