(1)求|PA|·|PB|的最小值及此时l的方程;
(2)若P(-1,1)平分线段AB,求l的方程;
(3)若线段AB被P(-1,1)三等分,求l的方程.
(1)求|PA|·|PB|的最小值及此时l的方程;
(2)若P(-1,1)平分线段AB,求l的方程;
(3)若线段AB被P(-1,1)三等分,求l的方程.
解析:由于题目所求部分有明确几何意义,可考虑用直线的参数方程.
解:设直线l的参数方程为
(t为参数),代入抛物线方程并整理得t2sin2α+2tsinα+8tcosα-7=0.
∵Δ=(2sinα+8cosα)2+28sin2α=48+8sin(2α+
)＞0,∴它的两根t1、t2为AB对应的参数值.
(1)|PA|·|PB|=|t1|·|t2|=|t1t2|=
(α≠kπ,否则直线与抛物线只有一个交点)
当sinα=±1时,|PA||PB|有最小值7,此时直线方程为x=-1.
(2)若P为中点,则t1+t2=0,
∴
=0.∴k=tanα=-4.
直线l的方程为4x+y+3=0.
(3)为AB的三等分点,不妨设|PA|=2|PB|,
即t1=-2t2,
∴t1+t2=-t2,t1t2=-2t22.
∴-2(t1+t2)2=t1t2.
由韦达定理知
=-2·
,整理得(3sinα+8cosα)(sinα+8cosα)=0.
∴k1=tanα1=-
,k2=tanα2=-8.
故所求直线l的方程为8x+3y+5=0或8x+y+7=0.