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在光滑的圆锥顶端用长为L的细绳悬有质量为m的小球，圆锥的顶角为2

在光滑的圆锥顶端用长为L的细绳悬有质量为m的小球，圆锥的顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球紧压锥面，此时绳的张力为______；要使小球离开锥面，则小球和锥面的角速度至少应为______.

答案

解析：如图所示，小球受三个力作用：重力mg、锥面支持力FN（垂直锥面向上）和绳的拉力Ft，在水平面内做匀速圆周运动，圆心在O′点，半径为r=Lsinθ.将FN、Ft沿水平方向和竖直方向正交分解，应用牛顿第二定律得：

水平方向上：Ftsinθ-FNcosθ=mrω2；

竖直方向上：Ftcosθ+FNsinθ-mg=0，

以上三式联立解得绳子的张力大小为：

Ft=m(gcosθ+Lsin2θω2)

设小球和锥面转动的角速度为ω0时，小球与锥面间的弹力FN=0，此时小球即将脱离圆锥面，细绳与竖直方向的夹角仍为θ，小球在水平面内做匀速圆周运动所需的向心力由重力mg和绳子的拉力Ft的合力提供：mgtanθ=m(Lsinθ)ω02，于是求得ω0=

答案：m(gcosθ+Lsin2θω2)    


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