,BD=CD=1.另一个侧面ABC是正三角形.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)求二面角B-AC-D的大小;
(3)在线段AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
,BD=CD=1.另一个侧面ABC是正三角形.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)求二面角B-AC-D的大小;
(3)在线段AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
(1)证法一:作AH⊥面BCD于H,连结DH,AB⊥BDHB⊥BD,
∵AD=
,BD=1,
∴AB=
=BC=AC.
∴BD⊥DC.
又BD=CD,则BHCD是正方形,
则DH⊥BC,
∴AD⊥BC.
证法二:取BC的中点O,连结AO、DO,
则有AO⊥BC,DO⊥BC.
∴BC⊥面AOD.∴BC⊥AD.
(2)解:作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,
则∠BMN就是二面角BACD的平面角.
∵AB=AC=BC=
,
∴M是AC的中点,且MN∥CD.
∴BM=
,MN=
CD=
,BN=
AD=
.
由余弦定理得cos∠BMN=
.
∴∠BMN=arccos
.
(3)解:设E为所求的点,作EF⊥CH于F,连结FD,则EF∥AH.
∴EF⊥面BCD,∠EDF就是ED与面BCD所成的角,则∠EDF=30°.
设EF=x,易得AH=HC=1,则CF=x,FD=1+x2.
∴tan∠EDF=
,解得x=
,则CE=
=1.
故线段AC上存在E点,且CE=1时,ED与面BCD成30°角.