如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝a.
(1)求证：AD⊥B1D；
(2)求证：A1C∥平面AB1D；
(3)求三棱锥C－AB1D的体积．
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝a.
(1)求证：AD⊥B1D；
(2)求证：A1C∥平面AB1D；
(3)求三棱锥C－AB1D的体积．
[解析] (1)证明：∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，
∴BB1⊥平面ABC，
∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥BB1.
又∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
又∵BC∩BB1＝B，
∴AD⊥平面B1BCC1.
又∵B1D⊂平面B1BCC1，
∴AD⊥B1D.
(2)证明：连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE.
∵AA1＝AB，∴四边形A1ABB1是正方形，
∴E是A1B的中点，
又∵D是BC的中点，
∴DE∥A1C.
∵DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D.
(3)解：VC－AB1D＝VB1－ADC＝
S△ADC·|BB1|＝
a3.