+
+…+
＞
［log2n］,其中n为大于2的整数,［log2n］表示不超过log2n的最大
整数,设数列{an}的各项为正,且满足a1=b(b＞0),an≤
,n=2,3,4,…(1)证明an＜
,n=3,4,5,…，
(2)猜测数列{an}是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明)；
(3)试确定一个正整数N,使得当n＞N时,对任意b＞0,都有an＜
.
++…+＞［log2n］,其中n为大于2的整数,［log2n］表示不超过log2n的最大整数,设数列{an}的各项为正,且满足a1=b(b＞0),an≤,n=2,3,4,…(1)证明an＜,n=3,4,5,…，
(2)猜测数列{an}是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明)；
(3)试确定一个正整数N,使得当n＞N时,对任意b＞0,都有an＜.
(1)证法1：∵当n≥2时,0＜an≤,
∴≥=+,
即-≥.
于是有
-
≥
,
-
≥
,…,
-
≥
.
所有不等式两边相加可得
-
≥
+
+…+
.
由已知不等式知,当n≥3时有,
-
＞
［log2n］.
∵a1=b,∴
＞
+
［log2n］=
.
∴an＜
，n=3,4,5….
证法2:设f(n)=
+
+…+
,首先利用数学归纳法证不等式an≤
,n=3,4,5,….
①当n=3时,
由a3≤
=
≤
=
,知不等式成立.
②假设当n=k(k≥3)时,不等式成立,即ak≤
,
则ak+1≤
=
≤
=
=
=
,
即当n=k+1时,不等式也成立.
由①②知,an≤
,n=3,4,5,…
又由已知不等式得
an＜
,n=3,4,5,…
(2)解：有极限,且
an=0.
(3)解：∵
,
令
＜
,
则有log2n≥［log2n］＞10
n＞210=1 024.
故取N=1 024,可使当n＞N时,都有an＜
.