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过抛物线y2=4x的顶点O作相互垂直的弦OA、OB,求抛物线顶点O在AB上的影

过抛物线y2=4x的顶点O作相互垂直的弦OA、OB,求抛物线顶点O在AB上的影射M的轨迹方程.

答案

解析

:设A(x1,y1)、B(x2,y2),代入抛物线方程并作差得k AB= =,

∴直线AB的方程l AB:y-y1= (x-x1).

注意到y12=4x1,y1y2=-16(∵k OA·k OB=-1,

∴·=-1 =-1y1y2=-16),

即得(y1+y2)y+16=4x.

又直线OM的方程为y=- x,

由x2+y2-4x=0(x≠0)即为所求的轨迹方程.

温馨提示

:由(*)消去y1+y2所得方程为所求,是因为由(*)解出x、y(用y1+y2作已知)得到的是点M的坐标,而点M的坐标的关系式(即消去y1+y2得x、y的关系)为动点M的轨迹方程.显然这样做与直接过渡其关系式是一样的.另外本题还可以设OA的斜率为k,类似于上面的方法求M的轨迹方程.

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