已知斜三棱柱
，
，
，
在底面
上的射影恰为
的中点
，又知
。
（I）求证：
平面
；
（II）求
到平面
的距离；
（III）求二面角
的大小。
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已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知。
（I）求证：平面；
（II）求到平面的距离；
（III）求二面角的大小。
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解：（I）因为
平面，
所以平面
平面，
又
，所以
平面
，
得
，又
所以平面；
（II）因为
，所以四边形为
菱形，
故
，又为中点，知
。
取
中点
，则
平面
，从而面
面，
过
作
于
，则
面，
在
中，
，故
，
即到平面的距离为。
（III）过作
于
，连
，则
，
从而
为二面角的平面角，
在
中，
，所以
，
在
中，
，
故二面角的大小为
。
解法2：（I）如图，取
的中点
，则
，因为，
所以
，又平面，
以
为
轴建立空间坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
，由
，知
，
又，从而平面；
（II）由
，得
。
设平面的法向量为
，
，
，所以
，设
，则
所以点
到平面的距离
。
（III）再设平面的法向量为
，
，，
所以
，设，则
，
故
，根据法向量的方向，
可知二面角的大小为
。