如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点．

（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；

（Ⅱ）求证：平面ACM⊥平面PAB；

（Ⅲ）若PC与平面ACM所成角为30°，求PA的长．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．

【分析】（I）取PC的中点N，连接MN，CN，则可证四边形ADNM是平行四边形，于是AM∥DN，从而有AM∥平面PCD；

（II）利用勾股定理及余弦定理计算AC，AB可得出AC²+AB²=BC²，于是AC⊥AB，由PA⊥平面ABCD得出PA⊥AC，于是AC⊥平面PAB，从而得出平面MAC⊥平面PAB；

（III）以A为原点建立空间坐标系，设P（0，0，a），求出和平面ACM的法向量，令|cos＜＞|=sin30°解出a，得出|PA|．

【解答】证明：（I）取PC的中点N，连接MN，DN．

∵M，N是PB，PC的中点，

∴MNBC，又ADBC，

∴MNAD，

∴四边形ADNM是平行四边形，

∴AM∥DN，又AM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AM∥平面PCD．

（II）∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴PA⊥AC．

∵AD=CD=1，AD⊥CD，AD∥BC，

∴AC=，∠DCA=∠BCA=45°，

又BC=2，∴AB==．

∴AC²+AB²=BC²，∴AC⊥AB．

又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，

∴AC⊥平面PAB，又AC⊂平面ACM，

∴平面ACM⊥平面PAB．

（III）取BC的中点E，连接AE，则AE⊥AD．

以A为原点，以AD，AE，AP为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，

则A（0，0，0），C（1，1，0），设P（0，0，a），则M（﹣，，）（a＞0）．

∴=（1，1，0），=（﹣，，），=（1，1，﹣a）．

设平面ACM的法向量为=（x，y，z），则．

∴．令x=1得=（1，﹣1，）．

∴cos＜＞==．

∵PC与平面ACM所成角为30°，

∴=．解得a=．

∴|PA|=．