已知过抛物线
的焦点
，斜率为
的直线交抛物线于
两点，且
.
（1）求该抛物线
的方程；
（2）已知抛物线上一点
，过点
作抛物线的两条弦
和
，且
，判断直线
是否过定点？并说明理由.
已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.
（1）求该抛物线的方程；
（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.
解：（1）拋物线的焦点
，∴直线
的方程为:
.
联立方程组
，消元得:
，
∴
.
∴
解得
.
∴抛物线的方程为：
.
（2）由（1）可得点
，可得直线的斜率不为0，
设直线的方程为：
，
联立
，得
，
则
①.
设
，则
.
∵
即
，得：
，
∴
，即
或
，
代人①式检验均满足
，
∴直线的方程为：
或
.
∴直线过定点
（定点
不满足题意，故舍去）