如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA＝DP，BA＝BP．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若DA⊥DP，∠ABP＝60°，BA＝BP＝BD＝2，求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．
如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA＝DP，BA＝BP．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若DA⊥DP，∠ABP＝60°，BA＝BP＝BD＝2，求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．
【解答】（1）证明：取AP中点M，连接DM，BM，
∵DA＝DP，BA＝BP，
∴PA⊥DM，PA⊥BM，
∵DM∩BM＝M，
∴PA⊥平面DMB．
又∵BD⊂平面DMB，
∴PA⊥BD；
（2）解：∵DA＝DP，BA＝BP．DA⊥DP，∠ABP＝60°，
∴△DAP是等腰三角形，△ABP是等边三角形．
∵BA＝BP＝BD＝2，
∴DM＝1，BM＝
．
∴BD2＝MB2+MD2，∴MD⊥MB．
以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（﹣1，0，0），B（0，，0），P（1，0，0），D（0，0，1），
从而得
＝（1，0，﹣1），
＝（1，
，0），
＝（1，
，0），
＝（1，0，1），
设平面DPC的法向量
，则
，即
，
令y1＝1，得
，∴
＝（
，1，
），
设平面PCB的法向量
，由
，得
，
令y2＝1，得
，
，∴
＝（
，1，
），
∴cos＜
＞＝
．
设二面角D﹣PC﹣B为α，∴
．
