（08年龙岩一中冲刺文）（分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为
一条渐近线的方程是
过双曲线C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若A、B分别是双曲C上两条渐近线上的动点，且2|AB|=
|F1F2|，求线段AB的中点M的迹方程，并说明该轨迹是什么曲线。
（3）若在双曲线右准线L的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足
，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围.
（08年龙岩一中冲刺文）（分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为一条渐近线的方程是过双曲线C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若A、B分别是双曲C上两条渐近线上的动点，且2|AB|=|F1F2|，求线段AB的中点M的迹方程，并说明该轨迹是什么曲线。
（3）若在双曲线右准线L的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围.
解析：（1）设双曲线C的方程为
，
则它的右准线方程为
已知得
=1，则
=1，所以所求双曲线C的方程是
………………4分
（2）设A（x1,x2）、B（x1、x2）、M（x,y）
则
因为双曲线C的近线方程为
所以
故
又2|AB|=
所以|AB|=
即
………………7分
即
即
所以
………………7分
所以点M的轨迹中心在原点，焦点在y轴上，长轴长为6，短轴长为2的椭圆
（3）因为点R在直线m上的射影S满足
所以PS⊥QS，即△PSQ是直角三角形.
所以点R到直线m:x=
的距离为|RS|=
即
……………………①
又
………………9分
所以|PQ|=|PF2|+|F2Q|=2（xP+xQ－1）=4xR－2……………………②
将②代入①，得
………………10分
又P、Q是过右焦点F2的一条弦，且P、Q均在双曲线C的右支上，R是弦PQ的中点.所以
故所求a的取值范围是a≤－1. ………………12分