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如图1-6-,△ABC中∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AB,D、E为垂足.求证: =.图1-6

如图1-6-,△ABC中∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AB,D、E为垂足.

求证: =.

图1-6

答案

思路分析

:左边是平方,需设法将左边降幂或将右边升幂或者利用相似三角形面积比等于相似比的平方.

证法一:由射影定理得AB2=BD·BC,AC2=CD·BC,

∴==.

∵DE⊥AB,∴CA⊥AB.

∴DE∥AC.

∴=.

∴=.

证法二:∵DE∥AC,∴△BED∽△BAC.

∴=.∴=.

由射影定理DE2=AE·BE.

∴==.

证法三:易证△ABD∽△CAD.

∴=()2=.

又==.

∵DE∥AC,∴=.

∴=.

证法四:∵△ABD∽△CBA,

∴=.                                                               ①

∵△ACD∽△BCA,

∴=.                                                               ②

∴①×②, =·=.

而∵DE∥AC,∴=.

∴=.

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