已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.（1）求函数f(x)的解析式；（2

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）求证：对于区间［-1,1］上任意两个自变量的值x₁,x₂，都有|f(x₁)-f(x₂)|≤4；

（3）若过点A(1,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

即解得a=1,b=0.∴f(x)=x³-3x.

（2）证明:∵f(x)=x³-3x,∴f′(x)=3x³-3=3(x+1)(x-1).

当-1＜x＜1时,f′(x)＜0,故f(x)在区间［-1,1］上为减函数,

f_max(x)=f(-1)=2,f_min(x)=f(1)=-2.

∵对于区间［-1,1］上任意两个自变量的值x₁,x₂,都有|f(x₁)-f(x₂)|≤|f_max(x)-f_min(x)|,

∴|f(x₁)-f(x₂)|≤|f_max(x)-f_min(x)|=|2-(-2)|=4.

（3）解:f′(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1),∵曲线方程为y=x³-3x,∴点A(1,m)不在曲线上.

设切点为M(x₀,y₀),则点M的坐标满足y₀=x₀³-3x₀.∵f′(x₀)=3(x₀²-1),

故切线的斜率为3(x₀²-1)=,整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0.

∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线,∴关于x₀的方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三个实根.

设g(x₀)=2x₀³-3x₀²+m+3,则g′(x₀)=6x₀²-6x₀.由g′(x₀)=0,得x₀=0或x₀=1.

∴g(x₀)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在（0,1）上单调递减.

∴函数g(x₀)=2x₀³-3x₀²+m+3的极值点为x₀=0,x₀=1.

∴关于x₀方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三个实根的充要条件是解得-3＜m＜-2.

故所求的实数m的取值范围是-3＜m＜-2.