设函数f（x）=x3ax，其中a＞0且a≠1，若φ（x）=是区间（0，2）上的增

设函数f（x）=x³a^x，其中a＞0且a≠1，若φ（x）=是区间（0，2）上的增函数．

（Ⅰ）求a的最小值；

（Ⅱ）当a取得最小值时，证明：对于任意的0＜x₁＜x₂，当x₁+x₂=6时，有f（x₁）＜f（x₂）．

【分析】（Ⅰ）求导f′（x）=3x²a^x+x³a^xlna=a^x（3x²+x³lna），故φ（x）=3x²+x³lna，求导φ′（x）=6x+（3lna）x²，从而可得当x∈（0，2）时，φ′（x）≥0恒成立，从而化为求函数的最值问题即可；

（Ⅱ）当时，，从而化简可得，即3lnx₁﹣3ln（6﹣x₁）+6﹣2x₁＜0；令g（x）=3lnx﹣3ln（6﹣x）+6﹣2x，x∈（0，3），从而求导判断函数的单调性即可．

【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²a^x+x³a^xlna=a^x（3x²+x³lna），

∴φ（x）==3x²+x³lna，

∴φ′（x）=6x+（3lna）x²，

∵φ（x）=是区间（0，2）上的增函数，

∴当x∈（0，2）时，φ′（x）=6x+（3lna）x²≥0恒成立，

即恒成立；

又x∈（0，2）时，，

故lna≥﹣1，

故a≥；

即a的最小值为．

（Ⅱ）证明：当时，，

∵0＜x₁＜x₂且x₁+x₂=6，

∴0＜x₁＜3，x₂=6﹣x₁，

要证f（x₁）＜f（x₂），

只需证（0＜x₁＜3），

只需证，

只需证x₂﹣x₁＜3lnx₂﹣3lnx₁，

只需证3lnx₁﹣3lnx₂+x₂﹣x₁＜0，

只需证3lnx₁﹣3ln（6﹣x₁）+6﹣2x₁＜0（*）；

设g（x）=3lnx﹣3ln（6﹣x）+6﹣2x，x∈（0，3），

则，

当x∈（0，3）时，g′（x）＞0，即g（x）在（0，3）上单调递增，

于是对于任意的0＜x₁＜3，g（x₁）＜g（3）=0，即（*）式成立，

故原命题成立．

【点评】本题考查了函数与不等式的关系应用及导数的综合应用，属于中档题．