我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1、F2是一对相关曲线的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是 .
我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1、F2是一对相关曲线的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是 .
解析:设椭圆的半长轴为a1,椭圆的离心率为e1,
则e1=
,
a1=
.
设双曲线的实半轴为a,双曲线的离心率为e,
e=
,a=
.
|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0),
则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos 60°=x2+y2-xy,
当点P看作是椭圆上的点时,
有4c2=(x+y)2-3xy=4
-3xy,①
当点P看作是双曲线上的点时,
有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,②
①②联立消去xy得4c2=+3a2,
即4c2=
+3
,
所以
+3
=4,
又因为
=e,
所以e2+
=4,
整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3,
所以e=,
即双曲线的离心率为.