已知函数f（x）=ex-x-1（e是自然对数的底数）．
（1）求证：ex≥x+1；
（2）若不等式f（x）＞ax-1在x∈[
，2]上恒成立，求正数a的取值范围．
已知函数f（x）=ex-x-1（e是自然对数的底数）．
（1）求证：ex≥x+1；
（2）若不等式f（x）＞ax-1在x∈[，2]上恒成立，求正数a的取值范围．
详解】（1）由题意知，要证
，只需证
，
求导得
，当
时，
，
当
时，
，
∴f（x）在是增函数，在时是减函数，
即
在
时取最小值
，
∴
，即，
∴．
（2）不等式
在
上恒成立，即
在上恒成立，
亦即
在x∈[，2]上恒成立，令g（x）=
，，
以下求
在上的最小值，
,当
时，
，
当
]时，
，
∴当]时，
单调递减，当]时，单调递增，
∴在
处取得最小值为
，
∴正数a的取值范围是
．
【点睛】本题考查不等式的证明，考查正数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．