已知函数f(x)=ex-x-1(e是自然对数的底数). (1)求证:ex≥x+1;

已知函数f(x)=ex-x-1(e是自然对数的底数).

(1)求证:ex≥x+1;

(2)若不等式f(x)>ax-1在x∈[,2]上恒成立,求正数a的取值范围.

答案

详解】(1)由题意知,要证,只需证

求导得,当时,

时,

fx)在是增函数,在时是减函数,

时取最小值

,即

(2)不等式上恒成立,即上恒成立,

亦即x∈[,2]上恒成立,令gx)=

以下求上的最小值,

,当时,

]时,

∴当]时,单调递减,当]时,单调递增,

处取得最小值为

∴正数a的取值范围是

【点睛】本题考查不等式的证明,考查正数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.

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