已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性;
(2)当有极大值与极小值时，求证函数在定义域内有唯一的零点.
已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当有极大值与极小值时，求证函数在定义域内有唯一的零点.
解: (1)
=
令
或
当
即
时,令
,
,
则在
上单调递减,在
上单调递增.
当
即
时,
恒成立,
则在
上单调递增.
当
即
时,令
或
,令
,
则在
和递增,在
递减.
当
即
时,令
或
,令
,
则在和
递增,在
递减.
(2) 因为存在极大值与极小值,由(1)知或.
当时, 在和递增,在递减.
若
,
,无零点;
若
,
,有一个零点,
则当时, 有唯一零点.
当时, 则在和
递增,在递减,
若
,
由于
,
,则
,即在无零点;
若
,
,即在
有一个零点,
则当时, 则有唯一零点.
综上,原命题正确.