首页 / 四边形ABCD是正方形，A、B两点在抛物线y2=x上，C、D两点在直线y=x+4上.

四边形ABCD是正方形，A、B两点在抛物线y2=x上，C、D两点在直线y=x+4上.

四边形ABCD是正方形，A、B两点在抛物线y2=x上，C、D两点在直线y=x+4上.求正方形ABCD的面积.

答案

思路解析：解方程组或设边长或由韦达定理求解.

解法一：设A（y12，y1），B（y22，y2），则

y2-y1=1

y2-y1=（y2+y1）（y2-y1），∴y2+y1=1.∴y2=1-y1.           ①

(y12-y22)2+(y1-y2)2=(

)2.                                               ②

将①式代入②,得（y12-1+2y1-y12）2+（y1-1+y1）2=

.

化简,得4(2y1-1)2=(y1-y12-4)2.

∴4y1-2=y1-y12-4.∴y1=-2或y1=-1.

∴|AB|=

或,∴S=|AB|2=50或18.

解法二：设A(y02,y0),ABCD边长为d,由于AC平行于y轴,且|AC|=

d,故C(y02,y0+d),且B(y02+d,y0+d).

于是

(2)代入(1)中，得y02+3y0+2=0，

∴y0=-2或-1，∴|AB|=

或.

∴S=|AB|2=50或18.

解法三：如下图所示，设ABCD的边长为d，则直线AB的方程为y=x+4-

d.由消去x，得y2-y+4-d=0.

由韦达定理,得y1+y2=1，y1y2=4-

d，

又∵|AB|=d-

·，

∴2［12-4（4-

d）］=d2.∴d2-8d+30=0，解之，得d=3或d=5.

∴正方形面积为18或50.

深化升华

    从三个解法中可体会到，所设未知数不同.列方程的依据就不同,解答过程的繁简就不一样.应特别注意参数的设法，合理利用图形的特点以化简运算.


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