思路分析
:三棱锥的六条棱长都已知,且比较特殊,我们不难求得△ACB的面积,但点D在面ABC内的射影位置不明显,三棱锥的高比较难求.于是,我们以点A为原点,面ABC所在平面为xOy面,将AB置于Ox轴正半轴上,建立空间直角坐标系,问题便转化为求点D的坐标,而这不难用两点间的距离公式求解.解:以点A为原点,面ABC所在平面为xOy面,将AB置于Ox轴的正半轴上,建立空间直角坐标系,如图4-3-2.
图4-3-2
AC=AB=2,BC=1,易求得S△ABC=
×1×
.
A(0,0,0),B(2,0,0),C(
,0).
设D(x,y,z).
由DA=1得x2+y2+z2=1.①
由DC=2,得(x-
)2+(y-
)2+z2=4.②
由DB=2,得(x-2)2+y2+z2=4.③
由①③,得-4x+4=3,x=
.④
将①④代入②,得1-
y=4,y=
.⑤
将④⑤代入①,得
+z2=1,
∴z2=
,z=
.
∴D点到平面ACB的距离为
,三棱锥的体积为
.
绿色通道
:本题采用建立空间直角坐标系,将问题转化为求D点的坐标问题的方法,避开了逻辑推理与空间想象而进行代数运算.