思维分析：
如果知道圆的半径R，内接矩形的两邻边长分别为x、y，矩形面积S=xy，就是要证x=y时S最大，由矩形、圆的性质可知，矩形的对角线就是圆的直径，把x、y的关系找出来，则y可用x表示，S是关于x的函数，则可求S的最大值.证明：
设⊙O的半径为R，矩形ABCD的两邻边长分别为x、y.则矩形面积S=xy（0＜x,y＜2R）.
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴A、O、C共线.∴AC=2R.
∴x2+y2=（2R）2,
y=
（∵y＞0）.
∴S=x
.
令S′=
+x·
=
=0.
∴4R2-2x2=0.
解得x1=-
R（舍去），x2=
R,
∴y=
=
R=x.
又∵当x或y接近于0时，S接近于0；当x或y接近于2R时，S接近于0;
∴当x=y=
R时,Smax=2R2.
∴矩形为正方形.
∴同一圆的内接矩形中，正方形面积最大.
温馨提示
在求函数最值问题时，导数是有力的工具之一.