首页 / 已知点M到点F(0,1)和直线l:y=-1的距离相等,求点M的轨迹方程.

已知点M到点F(0,1)和直线l:y=-1的距离相等,求点M的轨迹方程.

已知点M到点F(0,1)和直线l:y=-1的距离相等,求点M的轨迹方程.

答案

解

:设点M的坐标为(x,y),点M的轨迹就是集合P=｛M||MF|=|MQ|｝,其中Q是点M到直线y=-1的垂线的垂足.由两点间距离公式及点到直线的距离公式得,将上式两边平方得x2+(y-1)2=(y+1)2,化简得.    ①

下面证明方程①是所求轨迹的方程.

(1)由求方程的过程可知,曲线上的点的坐标都是方程①的解；

(2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解,那么,即x12+(y1-1)2=(y1+1)2,,|M1F|=|M1Q1|.其中Q1是点M1到直线y=-1的垂线的垂足,因此点M1是曲线上的点.

由(1)(2)可知,方程①是所求轨迹的方程,图形如上图所示.

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