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求证:当n为正整数时,n3+5n能被6整除.

求证:当n为正整数时,n3+5n能被6整除.

答案

思路分析

:本题用分析法(执果索因),由分析命题P(k+1)入手,“凑”成命题P(k)有关的形式.

证明：(1)当n=1时,13+5×1=6,命题显然成立.

(2)假设当n=k时,k3+5k能被6整除.

当n=k+1时,(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5

=(k3+5k)+3k(k+1)+6,

其中两个连续自然数之积的3倍能被6整除 ,k3+5k,3k(k+1),6分别能被6整除,所以当n=k+1时,命题也成立.

据(1)(2),可知对于任意n∈N

*,命题都成立.

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