将某质地均匀的正十二面体玩具的十二个面上分别标记数字1,2,3，…，12．抛掷该玩具一次，记事件
：向上的面标记的数字是完全平方数（即能写成整数的平方形式的数，如
，
为完全平方数）．
（Ⅰ）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：
①甲抛掷该玩具一次，若事件发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件没有发生，则甲得
分；
②乙抛掷该玩具一次，将向上的一面对应数字作为乙的得分．
（i）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的期望；
（ii）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；
（Ⅱ）抛掷该玩具一次，记事件
：向上一面的点数不超过
（
）．若事件与相互独立，试求出所有的整数．
.解：（Ⅰ）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为
，
．
（i）易得，的分布列为：
| 点数 | 1 | 4 | 9 | 其他 |
|
| 6 | 24 | 54 | 0 |
|
|
|
|
|
|
| 点数 | 1 | 2 | … | 12 |
|
| 1 | 2 | … | 12 |
|
|
|
| … |
|
故
，
．
（ii）
．
（Ⅱ）易知抛掷该玩具一次，基本事件总数共有12个，事件包含3个基本事件（1点，4点，9点）．
记
，
分别表示事件
，包含的基本事件数，
由
及古典概型，得
，∴
，①
故事件包含的基本事件数必为4的倍数，即
，
当
时，
，
，
，不符合①，
当
时，
，，，符合①，
当
时，
，
，
，符合①，
故的值可能为8或12．
