(1)求f(x)的极值;
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
(1)求f(x)的极值;
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
解：(1)f′(x)=3x2-2x-1.
若f′(x)=0,则x=-
或x=1.
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表.
x | (-∞,- | - | (- | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以f(x)的极大值是f(-
)=
+a,极小值是f(1)=a-1.
(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1.
由此可知x取足够大的正数时有f(x)＞0,
x取足够小的负数时有f(x)＜0,
所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.
结合f(x)的单调性可知,
当f(x)的极大值
+a＜0,即a∈(-∞,-
)时,它的极小值也小于0,
因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,它在(1,+∞)上;
当f(x)的极小值a-1＞0,即a∈(1,+∞)时,它的极大值也大于0，
因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,它在(-∞,-
)上.
所以当a∈(-∞,-
)∪(1,+∞)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
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,1)